2. příčka · ~150 př. n. l. · Rhodos, Řecko

Velikost a vzdálenost Měsíce

Hipparchos · dva druhy zatmění, poskládané jako stopy v detektivce

Dvě nezávislá pozorování zatmění — jedno měsíční, jedno sluneční — dohromady daly velikost i vzdálenost Měsíce najednou.

Stopa 1 — měsíční zatmění: změření, jak dlouho Měsíci trvá přejít zemský stín, prozradí, že stín je v té vzdálenosti ~2,5 měsíčního průměru široký.

Stopa 2 — sluneční zatmění: Měsíc skoro dokonale přikryje sluneční kotouč, takže oba mají ze Země stejnou zdánlivou úhlovou velikost. Tím se doplní ta klíčová oprava k měření se stínovým kuželem.

Hipparchos použil dvě nezávislá pozorování zatmění — jedno měsíční a jedno sluneční — a vyřešil tím úlohu, která s kterýmkoli z nich samotným vypadá neřešitelně.

Stopa 1 — načasování měsíčního zatmění. Při měsíčním zatmění přejede zemský stín přes tvář Měsíce. Hipparchos změřil, jak dlouho Měsíci trvá přejít celou šířku stínu, a porovnal to s tím, jak dlouho mu trvá urazit vzdálenost rovnou jeho vlastnímu průměru. Vyšlo mu, že stín je v té vzdálenosti zhruba 2,5 měsíčního průměru široký.

Chybějící oprava. Zemský stín je kužel, ne válec — zužuje se, protože Slunce je větší než Země. Ve vzdálenosti Měsíce už je ten stín menší než sama Země. A do téhle opravy vstupuje neznámá velikost a vzdálenost Slunce.

Stopa 2 — geometrie slunečního zatmění. Při úplném zatmění Slunce Měsíc jeho kotouč skoro dokonale přikryje. To znamená, že Měsíc a Slunce mají ze Země stejnou úhlovou velikost: jejich skutečný poloměr dělený vzdáleností je stejný. Když se tohle dosadí do rovnice se stínem, neznámé sluneční členy se krásně vykrátí a z opravy zbude přesně jeden poloměr Měsíce.

poloměr Země ≈ 2,5 × poloměr Měsíce + 1 × poloměr Měsíce = 3,5 poloměru Měsíce

Jak neznámé veličiny zmizí — řešení

A tady je ten elegantní trik: vzdálenost a velikost Slunce vystupují v obou stopách — ale při jejich spojení se úplně vykrátí a zbude jen poměr velikostí Země a Měsíce.

Stopa 2 odhalí, že oprava na kužel je přesně jeden poloměr Měsíce — a neznámé sluneční členy se tím vykrátí. Poloměr Země vyjde na 3,5 poloměru Měsíce. Skutečná hodnota je 3,67 — Hipparchos byl pozoruhodně blízko.

Vlastní výpočet

Tentýž postup v symbolech. r a d jsou poloměr a vzdálenost; jde o to, že r_slunce a d_slunce vystupují v obou stopách a vydělí se pryč, takže je odpověď nikdy nepotřebuje.

Měsíc má tedy asi 3,5krát menší průměr než Země (skutečný poměr: 3,67×). Když se to vrátí do známé úhlové velikosti Měsíce 0,5°, vyjde jeho vzdálenost: asi 60 poloměrů Země (ve skutečnosti 60,3).

Tahle příčka stojí celá na 1. příčce — bez toho, že bys nejdřív znal skutečnou velikost Země, dají všechny tyhle poměry jenom relativní čísla, ne opravdové vzdálenosti.

⚑ Předpoklady, na kterých to stálo

Velikost Země je známá — převzato z 1. příčky. Vzdálenost Měsíce vychází v poloměrech Země, takže se každá chyba odtamtud promítne přímo dál.
Sluneční paprsky jsou rovnoběžné — opět převzato. Geometrie stínového kužele na tom stojí.
Úplné zatmění Slunce znamená, že Měsíc a Slunce mají stejnou úhlovou velikost. To je pozorovaný fakt, ne odvozený závěr — a platí jen proto, že žijeme v kosmicky šťastné době. Měsíc se od Země pomalu vzdaluje; v dávné minulosti byl větší a působil by prstencová zatmění, v daleké budoucnosti bude moc malý na to, aby Slunce zakryl celé.
Měsíc se během zatmění pohybuje po obloze stálou rychlostí. Přibližně to platí a výsledná chyba je malá.
Měsíc svítí odraženým slunečním světlem (ne vlastním), takže geometrie stínu má fyzikální smysl. Řekové tohle věděli.

✋ Zkus si to — změř Měsíc kouskem kartonu

Hipparchos potřeboval dvě zatmění a spoustu trpělivosti. Půlku jeho práce si můžeš zopakovat za každé jasné noci — s kartonem, pravítkem a asi deseti minutami.

Vyřízni nebo propíchni do kartonu malou kulatou dírku — zhruba 5 až 8 mm napříč. Změř ji, jak nejpřesněji dokážeš, a číslo si zapiš.
Zvedni karton k Měsíci, zavři jedno oko a koukej se dírkou.
Posunuj kartonem pomalu k oku a od oka, dokud ho Měsíc přesně nevyplní — aby se dotýkal dokola, po okrajích nikde nekoukala obloha a žádný kus Měsíce nebyl schovaný.
Drž se v klidu a ať ti někdo změří vzdálenost od kartonu k oku. Na tomhle čísle záleží, tak si ho změř dvakrát.

A teď děl: vzdálenost oko–karton ÷ šířka dírky.

Co jsi právě změřil: mělo by ti vyjít někde kolem 110. To je úhlová velikost Měsíce a říká, že Měsíc je 110krát dál, než je široký — a to je to jediné číslo, které Hipparchos ze samotných zatmění dostat nedokázal.

A teď tu příčku uzavři. Postup se stínem nahoře dá Měsíc asi jako 1/3,5 šířky Země — skutečné číslo je 1/3,67, takže Hipparchův krok už je trochu velkorysý. 1. příčka ti dala šířku Země, 12 700 km. Vyděl ji 3,5 a Měsíc vyjde asi 3 600 km napříč; vyděl ji skutečnými 3,67 a dostaneš 3 470 km. Vynásob kterékoli z nich svým číslem 110 a Měsíc přistane někde mezi 380 000 a 400 000 km daleko.

Doopravdy je to 384 400. Vzdálenost k Měsíci máš na pár procent přesně — z dírky v kartonu a z příčky pod sebou — a to kolísání v tvé odpovědi není nepořádnost, to je Hipparchových 3,5, které jsou lehce vedle, protažené celou cestou nahoru. A přesně to znamená, že jedna příčka stojí na druhé.

A druhé měření, zadarmo. Udělej to celé znovu v noci, kdy Měsíc vychází — obrovský, oranžový, sedící na střechách a vypadající, že na něj dosáhneš. A pak počkej pár hodin a udělej to ještě jednou, až bude vysoko nad hlavou a bude vypadat malý a obyčejný.

To číslo se nemění. Ani o milimetr. Měsíc je v obou případech přesně stejně velký a vždycky byl — ten „obrovský“ Měsíc nad obzorem je něco, co dělá tvůj mozek, ne něco, co dělá obloha. Tvoje oči nejsou měřicí přístroj. A přesně proto je tenhle žebřík postavený z měření, a ne z dojmů.

Velikost a vzdálenost Měsíce

Jak neznámé veličiny zmizí — řešení

Když Hipparchos měřil Měsíc…