3. příčka · 1609 – 1619 · Praha & Linec

Tvar sluneční soustavy

Johannes Kepler · dokonalá mapa bez měřítka

Úplný model sluneční soustavy v měřítku — u každé planety přesně známý poměr vzdáleností — postavený z ničeho jiného než z časování oběhů, úplně bez skutečných jednotek.

Sluneční soustava Keplerovýma očima: všechny oběžné doby se dají změřit ze Země a T²∝d³ dá vzdálenost každé planety jako poměr k Zemi (v au). Skutečná délka 1 au ale zůstala neznámá.

Johannes Kepler se roky pral s pozorováními Tychona Brahe — nejpřesnějšími údaji o planetách, jaké kdy někdo zapsal pouhýma očima — a našel v nich schovaný krásný matematický zákon.

Zjistil, že oběžná doba planety (jak dlouho jí trvá jedno kolečko kolem Slunce) a její vzdálenost od Slunce nejsou nezávislé: jsou spolu přesně svázané. Umocni dobu na druhou, vzdálenost na třetí — a vyjde ti pořád tentýž poměr, u každé planety.

T² ∝ d³ · oběžná doba² je úměrná vzdálenosti³

Astronomové měli přesné oběžné doby všech známých planet, získané pouhým trpělivým pozorováním a počítáním. Keplerův zákon z těch dob udělal poměrné vzdálenosti: Mars obíhá 1,52krát dál než Země, Jupiter 5,20krát, Saturn 9,58krát. Celá sluneční soustava měla najednou správný tvar i měřítko — každý poměr seděl.

Jenže všechny vzdálenosti byly vyjádřené v au (astronomických jednotkách) — v násobcích vlastní, neznámé vzdálenosti Země od Slunce. Bylo to jako mít dokonale přesnou mapu bez měřítka. Tvar seděl, ale nikdo nevěděl, jestli je 1 au sto milionů kilometrů, nebo dvě stě.

Sluneční soustava měla tvar. Potřebovala už jenom jedno skutečné měření, které by jí dalo velikost — a to mělo přijít ze 4. příčky. Jediný pevný bod, a Keplerův zákon z celé té mapy okamžitě udělá skutečné kilometry.

Podívej se na ten tvar ve skutečných poměrech →

⚑ Předpoklady, na kterých to stálo

Planety obíhají Slunce — heliocentrický předpoklad. V geocentrickém modelu se Keplerův zákon prostě neobjeví. V roce 1609 to byla stále hluboce sporná věc. Galileova pozorování ji podporovala, církev se stavěla proti. Bez Koperníka nemá tahle příčka na čem stát.
Dráhy jsou elipsy a Slunce je v jednom z ohnisek (první Keplerův zákon). Dva tisíce let tradice kruhových drah si vynucovaly nekonečné záplatování epicykly. Kepler přijal tu trochu ošklivou pravdu, že jsou to elipsy — a rázem se všechno vyčistilo.
Zákon platí obecně pro všechny planety. Kepler ho našel z pozorování a věřil, že platí všude. Zatím pro to neexistoval žádný fyzikální důvod — Newtonovo vysvětlení gravitací přišlo o 66 let později a ukázalo, proč platit musí.
Oběžné doby planet se dají přesně změřit z pohybující se Země. K tomu je potřeba vědět, které synodické doby (planeta vůči planetě) převést na siderické (vůči Slunci) — a to samo o sobě vyžaduje heliocentrický model.

✋ Zkus si to — nakresli dráhu a najdi Keplerův zákon

Dva špendlíky, smyčka provázku a tužka. Kepler se s tvarem dole pral roky; ty ho můžeš mít za minutu.

Zapíchni dva špendlíky do papíru položeného na korkové desce nebo na tlustém časopise, pár centimetrů od sebe.
Zavaž provázek do smyčky a přehoď ji přes oba špendlíky. Má být o dost delší než mezera mezi nimi.
Vlož dovnitř smyčky tužku, napni provázek a objeď s tužkou celé kolečko — provázek celou dobu drž napnutý.

Nakreslil jsi elipsu. Teď přisuň špendlíky k sobě a nakresli další; oddal je a nakresli třetí.

Co ty špendlíky jsou: ty dva body jsou ohniska a elipsa je z nich udělaná. Špendlíky skoro u sebe ti dají kružnici. Špendlíky daleko od sebe dlouhou zmáčknutou. Každá dráha ve sluneční soustavě je jedna z nich.

A teď to, co Keplera stálo roky života. Slunce sedí u jednoho špendlíku. U toho druhého není vůbec nic. Žádná hvězda, žádný střed, žádný objekt — jen holý bod v prázdném prostoru, kolem kterého je dráha planety přesto tvarovaná. Dlouho se snažil tomuhle závěru vyhnout, protože je ošklivý, a nakonec mu to měření nedovolila.

A teď ten zákon sám. Na tuhle část neměl Kepler dalekohled — měl tabulku čísel a roky v ní lovil vzorec. Ty ho můžeš ulovit za pět minut, protože ta čísla jsou v katalogu těchhle stránek. Vezmi u každé planety její rok v pozemských letech a její vzdálenost v au. Rok umocni na druhou. Vzdálenost na třetí.

planeta	rok²	vzdálenost³
Merkur	0.058	0.058
Venuše	0.378	0.378
Země	1.000	1.000
Mars	3.538	3.538
Jupiter	140.7	140.8
Saturn	867.7	867.3
Uran	7,059	7,066
Neptun	27,149	27,189

Zkontroluj si sám pár řádků a koukej, jak se ty dva sloupce shodují. Osm planet, od jedné, které to trvá 88 dní, po jednu, které to trvá 165 let, a největší neshoda v té tabulce je desetina procenta. To není náhoda, ze které by se dalo vykecat — je to zákon, a najít ho je celý smysl téhle příčky.

A pak si všimni, co držíš v ruce. Teď přesně víš, o kolik dál je Neptun než Země — a nezměřil jsi jediný kilometr. Všechny vzdálenosti jsou v „Zemích“. Dokonalá mapa bez měřítka — a přesně tenhle problém musí vyřešit 4. příčka.

Delší verze, jestli máš pár měsíců. Všechno výše je práce uvnitř. Pozorování, kvůli kterému celá tahle příčka existuje, je venku a chce trpělivost: najdi Mars a jednou týdně si zakresli, kde stojí proti vzoru hvězd za ním. Vydrž. Dřív nebo později zpomalí, zastaví se a pár týdnů půjde pozpátku, než se zase otočí.

S Marsem není nic špatně. Ta zpětná smyčka je prostě to, jak to vypadá, když ho Země po rychlejší vnitřní dráze předjíždí — a vysvětlit tuhle smyčku bylo přesně to, co donutilo celou sluneční soustavu přeskládat kolem Slunce. Planetárium ví, kdy začne to příští, odtud, kde jsi

Kdy bude příští couvání? →

Tvar sluneční soustavy

Když Kepler objevil svůj zákon…